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LaTeX笔记-六(数学公式)

TeX有两种数学公式,一种是夹杂在行文段落中的公式,如$\int f(x) \text{d}x=1$,一般称为行内(inline)数学公式,或正文(in-text)数学公式;另一种就是像下面这样单独占据郑航居中展示出来,称为显示数学公式
$$\sum_{i=0}^N \int_a^bg(t,i)\text{d}$$

在TeX中,行内公式一般在前后单个美元符号$…$表示,显示公式用连续的两个美元符号$$…$$表示

基础

在数学模式下,符号会使用单独的字体,字母通常是倾斜的意大利体,数字和符号则是自立体,仔细看的话,数学符号之间的距离也与一般的水平模式不同:
$a + b = b + a$,如$ 1 + 2 = 2 + 1$
正常模式
a + b = b + a,如 1 + 2 = 2 + 1
因此,在排版数学公式时,即使是没有任何特殊符号的算式$1+1$也要进入数学模式,使用$1+1$而不是普通文字的1+1
c除了使用单个美元符号,在LaTeX中还额外定义了命令格式与环境格式的方式输入行内公式,即使用命令\(\)环境括起来一个行内数学公式,如$a+b$也可以写成\(a+b\)或是\begin{math}a+b\end{math}。这两种形式提供了更好的错误检查,并且可以更明确地看出公式的开始于结束,也不容易混淆。
同样的,LaTeX中也定义了命令形式和环境形式的输入方法,即使用\[\]命令或是displaymath环境括起一个显示数学公式,例如:\[a+b=b+a\],虽然并非必须,但最好在源代码中就把单独占据一行的显示公式放在单独的行内,使代码更清晰,推荐使用的方式是\[...\]$$...$$会产生不良的间距,缺少错误检查,并且不能正确处理fleqn等文档选项,应该避免使用,而displaymath环境可能显得冗长。
LaTeX还提供了带自动编号的数学公式,可以用equation环境表示,公式后还可以带引用的标签,例如:

1
2
3
\begin{equation}
a+b=b+a \label{eq:commutative}
\end{equation}

上标与下标

上标和下标是两种最常见的数学结构,它们的形式也很朴素:上标一般在原符号的右上方,下标一般在原符号的右下方,有时也在正上方和正下方,例如:

$$\sum_{i=1}^{n}\max_a10^na_i\int_Da^2_i$$

在TeX中,上标用特殊字符^表示,下标用特殊字符_表示。在数学模式中,符号^_的用法差不多相当于带一个参数的命令,如$10^n$可以得到 $10^n$ ,而$a_i$可以得到 $a_i$ 当上标和下标多余一个字符时,需要使用分组确定上下标范围,如$A_{ij}=2^{i+j}$得到$A_{ij}=2^{i+j}$
上标和下标可以同时使用,也可以嵌套使用。同时使用上标和下标,上下标的先后次序并不重要,二者互不影响,嵌套使用上下标时,则外层一定要使用分组。数学公式中空格是不起实际作用的,适当的空格可以将代码分隔得好看一些。
数学公式中单引号是一种特殊的上标,表示用符号\prime(即’)做上标,可以与下标混用,也可以连续使用,但不能与上标直接混用,如:

1
2
$a=a'$,$b_0'=b_0''$,
${c'}^2=(c')^2$

得到
$a=a’$,$b_0’=b_0’’$,${c’}^2=(c’)^2$

上下画线与花括号

\overline\underline命令可用来在公式的上方和下方划横线,overbraceunderbrace命令可以在公式上方和下方带上花括号如:

代码 结果
$\overleftarrow{a+b}$ $\overleftarrow{a+b}$
$\overrightarrow{a+b}$ $\overrightarrow{a+b}$
$\overleftrightarrow{a+b}$ $\overleftrightarrow{a+b}$
$\underleftarrow{a-b}$ $\underleftarrow{a-b}$
$\underrightarrow{a-b}$ $\underrightarrow{a-b}$
$\underleftrightarrow{a-b}$ $\underleftrightarrow{a-b}$
$\vec x = \overrightarrow{AB}$ $\vec x = \overrightarrow{AB}$
$\overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3}$ $\overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3}$

还可以使用上下标在花括号上做标注

1
$$ (\overbrace{a_0,a_1,...,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}) = (\underbrace{0,0,...,0}_n,1) $$

$$ (\overbrace{a_0,a_1,…,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}) = (\underbrace{0,0,…,0}_n,1) $$

分式

在LaTeX中分式用\frace<分子><分母>得到,如:
$$ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $$ $ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $
在行内公式和显示公式中,分式的大小是不同的。行内分式中分子分母都用较小的字号排版,以免超出文本行的高度。
连分式是一种特殊的分式,amsmath提供的\cfrac专用于输入连分式。这个命令可以带一个可选的参数l、c、r,表示左、中、右,默认是居中,如:
$$ \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+x}}} = \cfrac[r]{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac[l]{3}{1+x}}} $$

得到 $$ \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+x}}} = \cfrac[r]{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac[l]{3}{1+x}}} $$
结果,markdown对这个支持不是很好,结果用图片代替了。
还有一些类似分数分成上下两半,如二项式系数$\binom nk$,amsmath提供了\binom来输入二项式系数,其用法与\frac类似:

1
`$$ (a+b)^2 = \binom {20}{02} a^2 + \binom 21 ab + \binom 22 b^2 $$`

$$ (a+b)^2 = \binom {20}{02} a^2 + \binom 21 ab + \binom 22 b^2 $$

根式

根式在LaTeX用单参数的命令\sqrt得到,同时可以带一个可选参数,表示开方得次数,如:
$\sqrt 4 = \sqrt[3]{8} = 2$ 得到 $\sqrt 4 = \sqrt[3]{8} = 2$
嵌套使用根式或与其他数学结构结合也很常见:

1
$$ \sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x+y}}$$

$$ \sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x+y}}$$
如果开方得次数不是简单的整数,或者被开方得内容过长,通常改用等价的指数形式:

1
$$ (x^p+y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}}$$

$$ (x^p+y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}}$$
有时可能对开方次数的排版位置不满意,可以用amsmath提供的\uproot\leftroot命令调整,命令参数是整数,移动的单位是很小的一段距离,如:

1
$$ \sqrt[\uproot{16}\leftroot{-2}n] {\frac{x^2 + \sqrt 2}{x+y}} $$

矩阵

在基本的LaTeX中,矩阵是用PlainTeX一样的命令\matrix\pmatrix,各类矩阵环境的区别在于外面的括号不同:

环境 代码 结果
matrix $$\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}$$
bmatrix $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$$
vmatrix $$\begin{vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix}$$ $$\begin{vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix}$$
pmatrix $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}$$
Bmatrix $$\begin{Bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{Bmatrix}$$ $$\begin{Bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{Bmatrix}$$
Vmatrix $$\begin{Vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{Vmatrix}$$ $$\begin{Vmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{Vmatrix}$$

在矩阵环境中,不同的列用符号&分隔,行用\\分隔,矩阵中每列元素居中对齐,例如:

1
2
3
4
5
$$\begin{Vmatrix} 
A_1 & A_2 & A_3 \\
B_1 & B_2 & B_3 \\
C_1 & C_2 & C_3 \\
\end{Vmatrix}$$

$$\begin{Vmatrix} A_1&A_2&A_3\\ B_1&B_2&B_3\\ C_1&C_2&C_3\\ \end{Vmatrix}$$

在矩阵中经常使用各种省略号即\dots\vdots\ddots\iddots,amsmath还提供了可以跨多列的省略号\hdotsfor{<列数>},在行公式中,有时需要使用很小的矩阵,这可以由amsmath提供的smallmatrix环境得到.


以上